A PROPOSITO DEL UNO(1) 

Luego de trabajar algunas propiedades del cero, que es el elemento neutro de (R,+), números reales con la operación suma. Cambiemos para (R,•), números reales con la operación producto. El elemento llamado uno “1”, para el producto, es el elemento neutro; el cual satisface la propiedad de ser único. 

Por ser neutro, satisface la propiedad: a•1=1•a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 1 es el único propietario de esta característica, conducimos la atención a “los números inversos entre sí”. Si leyó, el ensayo A PROPOSITO DEL CERO se habrá dado cuenta del comentario que a los matemáticos nos encanta definir, casi todo. Sigamos la rutina. Se dice que a,bЄR, a y b números reales, ambos distintos de cero, son inversos entre sí, si a•b=b•a=1; que el producto entre ellos sea uno. Aclaratoria, solo para fijar la definición; si se multiplican dos números reales y se tiene como resultante el 1 (uno), elemento neutro de (R,•), cada uno será el inverso del otro, en este caso: a es el inverso de b y, a su vez, b es el inverso de a. 
NOTA IMPORTANTE: observemos que el 0, no puede participar, pues el producto debe dar 1, y, 0 multiplicado por cualquier número es 0; ésta es la razón por la que 0 nunca estará en el denominador de una fracción. Más adelante quedará claro. 

Prueba de unicidad. 
Lema: “El inverso de un elemento “a” de R, distinto de cero, es único”. 
Prueba:
Al igual que en el caso de la unicidad del 0 (cero) para la operación suma, repito que este tipo de discurso precisa claridad de la ley de la lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, es decir aceptamos un conjunto de premisas, si estas nos conduce a una contradicción, una de ellas es falsa y por tanto su negación es verdadera. Enunciado: Si aceptar como verdadera la negación de p, es decir, ~p es verdadera, y esto conduce a una contradicción, entonces es cierto “p” la cual es equivalente a ~(~p), {p≡~(~p)}. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación deductiva conduce a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que se dieron por ciertas pues, una de ellas es falsa; y la ley de “reducción al absurdo”, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera. 

Retornemos a la afirmación, que el inverso de un elemento en a de R, distinto de cero, es único. Supongamos que aЄR tiene dos inversos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, ambos satisfacen con “a” la propiedad del inverso: a•b=b•a=1 y a•c=c•a=1, por lo que: b=b•1=b•(a•c)=(b•a)•c=1•c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos inversos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción, b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición ~( b≠c)≡(b=c). Como ya se puede afirmar que cada elemento, distinto de cero, de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éstos hereden el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el inverso de “a” se usará la misma “a” alterada con el signo “-1” como supraíndice y quedará “a(-1)”. Amigos lectores, esta notación es impuesta, dado que la página donde lees no acepta líneas distintas dentro de un renglón de escritura. Continuando con la exposición tenemos que el inverso de “a” es “a(-1)” y el de “a(-1)” es [a(-1)](-1). En resumen: a•a(-1)=a(-1)•a=1 y a(-1)•[a(-1)](-1)=[a(-1)](-1)+a(-1)=1, por definición de opuesto. De ahora en adelante el elemento “a”, distinto de cero, le dará nombre a su inverso a(-1), dado que éste es único. 

Habrán observado, cuando escriben en matemática, la diferencia de notación para a+a+a+a+a+a y para a•a•a•a•a•a, en ambas se cuentan la cantidad de repetición del elemento “a” y, se comprime la notación, en este caso, con un seis(6) atrás, para la primera, y 6 como exponente para la segunda: a+a+a+a+a+a=6a y a•a•a•a•a•a=a(6), “a” elevado a la 6. Siguiendo la costumbre, es por la que, el opuesto de “a” en (R,+) lleva el (-1) atrás, el opuesto de “a” es (-1)a=-a, mientras que el (-1) para el inverso es un supraíndice, el inverso de “a” es a(-1), también se usa, uno dividido por a. Esta “a” en el denominador nunca es cero, ya que la definición de inverso así lo exige, para que el producto pueda ser igual a uno(1), también el inverso del inverso tampoco es cero. Repito hasta el cansancio: como a•c=c•a=1, se tiene que c es el inverso de a, por lo que, el inverso del inverso de a, es a mismo; y, a es el inverso de c, por lo que, el inverso del inverso de c, es c mismo. 

Hay que tener cuidado, esto ayudará entender, que la notación del inverso de un elemento, es el original con exponente (-1), razón por la que el inverso de a(-1) es [a(-1)](-1). 

Esto último, observen bien, da la impresión de que “a(-1)” tiene dos inversos: a saber, “a” y [a(-1)](-1), pero ya se aclaró que el inverso es único, de lo cual, podemos anunciar que [a(-1)](-1)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que el inverso del inverso es el elemento original. 

Dr. Edgar B. Sánchez B

A PROPÓSITO DEL AJITRUJILLANO

Hace 28 años un aviso de periódico de circulación nacional me condujo a la ciudad de Trujillo; Como tachirense acostumbrado a tomar sólo los autobuses que viajan a Maracay-Caracas y, también como estudiante de matemática en la Facultad de Ciencias en Mérida, este estado, donde habita el gélido y majestuoso Guirigay, aún no aparecía en mi bitácora. Ese periódico anunciaba varios cargos por concurso de oposición en la Universidad de Los Andes. Abrir sus páginas me abrió un sinfín de oportunidades que aún no terminan; eso creo. 

Cada estado tiene sus particulares encantos y, para los trujillanos, uno especial es su picantetrujillano -así sin separar, es mi propuesta- el cual tiene como base el maguey y el diablito, el primero es la parte inicial de la floración, el tallo consumible que al dejarlo crecer portará las futuras flores (diablitos), al ser  cocidos adecuadamente y mezclados luego con abundantes chireles da como resultado la delicia que les hablo. No continuo, prefiero que un lector agregue los aderezos necesarios. 

Lo cierto, y sobre eso quiero llamar la atención, es que ahora, el sabroso ajitrujillano se comercializa; lo podemos encontrar, en Trujillo, casi en cualquier bodega. Bienvenidos fabricantes de lo nuestro.

Lo que no veo son los cultivos del MAGUEY base de esa delicia, y además se ha infundido la creencia de que él solo (sin acento) crece en ambientes inhóspitos e intransitables; aunque en esto hay algo de verdad, le gusta cierta aridez; no es menos cierto que la población sólo desea encontrarlo, cortarlo, cocinarlo y comerlo en distintos guisos,  sin preocuparle la posible extinción.

Sugiero, a los más versados en el tema; me incluyo en la propuesta pues deseo conocerlo y cultivarlo, educar-aprender desde y hacia las comunidades con tradición del ajitrujillano para que le ayudemos a nacer-crecer-reproducirse-convivir-ser jardín-saborear-ajitrujillano.

Como no es mucho lo que puedo aportar, sólo puedo expresar públicamente mi preocupación, planteo las siguientes propuestas:

-       Educar-educarse con las comunidades para conocerlo mejor.

-       Crear viveros.

-       Proteger los existentes.

-       Informar quienes tienen experiencias parecidas (Lara es uno de los estados)

-       Escribir como es el proceso para prepararlo.

-       Difundir que esta sabrosa base necesita de nosotros los consumidores.

Promover servicios comunitarios para documentarlo. 

A PROPOSITO DEL ORDEN DICCIONARIO 

SI sólo existiera tres símbolos para expresar las ideas, por ejemplo €, ¥, # y todas las palabras escritas con ellos hicieran alusión a algún concepto, tendríamos que, de acuerdo a la tradición del diccionario, que establecer un orden entre ellas; por ejemplo: €, ¥, #; este acuerdo nos llevaría a que las palabras de una letra estarían ordenadas así: €, ¥, #. Ahora bien, el volumen de los contenidos a comunicar, pronto crearía la necesidad de arreglos de mayor tamaño, y escribirlas con estos únicos símbolos; por lo que es conveniente, un tanto en honor a la gerontogogía (es una broma), establecer previamente el siguiente acuerdo posicional (mostrado con un ejemplo): la palabra €¥#€€¥ tiene a la letra ¥, de primer lugar, la más a la derecha; seguidamente la letra €, de segundo; €, de tercero; #, de cuarto; ¥, de quinto; y €, de sexto lugar. Así sucesivamente, será la numeración para palabras de mayor tamaño. 

Las palabras de dos letras tendrán el siguiente orden: €€, €¥,€#, ¥€,¥¥,¥#, #€,#¥, ##. Para lograrlo, se inicia el proceso escogiendo a €, por ser la primera, para el segundo lugar, luego, ocupado ya el segundo; se continua, respetando el acuerdo, a llenar el primer lugar; ubicados, se inicia con €, y así, hasta agotarlos; por lo que aparece €€, luego €¥ y seguidamente €#; nótese que se agotaron las palabras con € de segundo, esto invita a cambiarla por la siguiente; corresponde, según el orden a ¥; de último por #. Las tres últimas palabras de dos letras serán: #€,#¥,##. Haciendo un pequeño resumen, la primera palabra de dos letras es €€ y la última es ##, por ser € la primera y # la última, en el acuerdo. 

Agotadas las palabras de dos letras, la necesidad impone la panorámica para las de tres y es “evidente” que empezará con €€€ y terminará con ###. Si se detiene un poco en el parágrafo anterior, se podrá entender que las palabras tendrán el siguiente orden: €€€, €€¥,€€#, €¥€, €¥¥, €¥#, €#€, €#¥, €##, Y€€, ¥€¥,¥€#, ¥¥€, ¥¥¥, ¥¥#, ¥#€, ¥#¥, ¥##, #€€, #€¥, #€#, #¥€, #¥¥, #¥#, ##€, ##¥, ###. Como hay tres espacios: _ _ _ y tres posibilidades para llenarlos: €, ¥, #; por ley del producto hay 3x3x3=27 palabras de tres letras; y 3x3x3x3=81 palabras de cuatro letras, y así sucesivamente. Este método de conteo no de deja espacio par la falsación de Poper. 

Traslademos esto al sistema octal (ocho dígitos), siguiendo el orden imperativo 0, 1,2,3,4,5,6,7; aceptando que las palabras mayores de un dígito no pueden iniciar por cero tendremos lo siguiente: Empezaríamos con 10: primera letra para el segundo lugar y primera para el primer lugar. Se cambia el primer lugar, por los sucesivos, hasta agotar la existencia: 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17; agotados para el primer lugar, modificamos el segundo; por el que sigue la letra 2, y se inicia de nuevo, así que aparece la palabra 20 después de 19 (¡no es veinte!. Ese nombre es exclusivo para el sistema decimal y acá es octal) ; esta secuencia continua hasta agotar todas las posibilidades de dos letras, por lo que el último es 99. Y nuevamente se establece la necesidad de incorporar una nueva posición; y como se acordó no iniciar las palabras con 0, entonces la primera de tres dígitos es 100 y se continúa la sustitución de derecha a izquierda hasta agotarlos. El último será 777, para abrir paso a la primera de cuatro letras 1000. Acuérdese, ¡no es mil! 

Esta dinámica ayuda a construir un relación, llamada “Relación de Orden”, en la que (a,b)<(c,d) si y sólo si a
Al seguir con cuidado el orden diccionario para el sistema decimal formado por las letras 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; entendemos por que después de la palabra un 19 está 20 y de la palabra 45 está 46. Considerados estos como Números naturales N (N negrita) adquirirán los nombres con los que lo conocemos. No es cierto, la expresión peyorativa de que muchos humanos conocen menos de doscientas palabras, pues si sabe contar hasta mil ya las superó.


Hay varios sistemas: en binario los signos son: 0,1; un ejemplo en orden es: 100,101, 110, 111; en hexadecimal, los códigos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F; un ejemplo en orden es: 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, ..........2F, 30, 31,32.........,FF, 100.

DIALOGO ENTRE LLANTOS

Blanca es una joven y agave mujer barinesa-tachirense, con algunos años, muy pocos, más que los míos; que extraño, no sé por qué, siempre es así, se ofenderá si les digo la edad que le acompaña, aunque esa es su belleza; sin embargo, con algunas vueltas de galimatías y dar una vaga idea: yo, quien escribe tenía diez cuando murió Julio Jaramillo “El Ruiseñor de América”. Ella es casada con un tensado en faenas de Vacas, cochinos, siembras, ríos crecidos y sabanas anegadas; de esos hombres que, machete en mano, resuelve cualquier dificultad que la vida ofrezca, ¡y sale airoso!; este caballero, de nombre Waldo, es de los que con su presencia hace sentir seguridad, en particular cuando se viaja por carreteras: de lluvia, árboles caídos y sorpresivos movimientos de tierra; no se detendrá en colaborar y resolver cualquiera sea la novedosa aventura que surja. Él tiene, no es bueno comparar, un cuñado que cuando, por ejemplo, se daña un caucho, en vez de ayudar, inclina el mueble y se queda dormido. Se llama Rafael. 

Blanca actúa al mismo nivel de su esposo, a tal palo le acompaña tal estilla; hacha en mano, nada la amedranta, ambos han sido fundadores y refundadores de fincas; tantos momentos degustaron, en mutua compañía, de paseos por las nubes, corte de árboles, construcción de caminos y bebidas afrodisiacas y espirituosas, no permite que la distancia lo separare; ni siquiera ahora, con su esposo infartado. Dejó, en acto votivo, su gélido paraíso montañoso en el pie de monte merideño-barines, llora por eso, ¡no querrán oírla!, para acompañar a su esposo a una casa rural, en la caliente población de Monay, Trujillo. No protesta, sólo llora, como si, sin leerlo, hiciera alusión a Eugenio Montejo, que en profundad reflexiva nos regaló: “Dura menos un hombre que una vela pero la tierra prefiere su lumbre para seguir el paso de los astros”, así, con esa dignidad, es ella para sí y para su esposo. 

A Blanca le gusta cantar las rancheras que dibujan memorias de pesca con anzuelos, bongos y familia. Relata en los encuentros sus historias de vida, cual material etnográfico, digno para la pluma creadora de “Llano en Llamas y Pedro Paramo” Juan Rulfo, el escritor del conversatorio de los muertos, en realismo mágico. Blanca es viviente y fantasma en unitemporalidad; cuando llora, lo hace el fantasma que acompaña a su padre, habitante de las escarchas de mármol y cuando ríe lo hace la viviente que acompañó a su madre “divorciada” de su padre, quien a la puerta de su vivienda mortuoria, escribió el epitafio: “aunque te ame y mis hijos te adoren, me separo de ti para tener derecho a recibir el pan y el vino”, relata y vuelve a relatar hasta el cansancio, con las mismas palabras, que garantizan que así mismo ocurrió. Son sus historias, las vividas en su truncada adolescencia madurada por los agrestes caminos de la vida. 

Hace poco, se puede decir, hace unos minutos, pues es su añoranza, en compañía de su hermano Rafael, estimulados con líquidos de uso legal: esos que se compran en todas partes; los oí llorar, y entre llantos y palabras de aliento compartidas e interrumpidas por un mismo compas, separados sólo por silencios de corcheas. Blanca recuerda a su padre. Cuando ella silencia, lloraba Rafael alegando que lo hace por que su hermana le trae tristezas pasadas. Remembran en húmedos recuerdos las antiguas misiones, cuando hombres de túnicas negras, declaraban a sonora voz que las casas de aquellos que no habían cumplido el últimos sacramento, eran antros de herejías, entradas al hades y culpables en eternidad tenebrosa de que las Perséfones siguieran siendo raptadas por el rey de la oscuridad y, con su actitud, contribuían a incrementar el peligro de las futuras primaveras y la salvación de sus hijos, aún niños. 

El llanto de los hermanos, tomaba forma de odio y melancolía, protestando a los reyes del poder del espíritu que hicieron que sus progenitores tomaran la decisión de separarse para evitar estar en pecado mortal; El padre se fue de casa, convencido que salvaría con ello a la familia del castigo eterno. Y desde ahí, la penuria, comienza la búsqueda de los hijos, inicia el retorno imaginario que perdura aún después del viaje hacia la convivencia con los fantasmas. 
Nunca, nunca más ― decían. Ya no se entendía sus libados susurros― 
―La familia no volvió a estar junta en fraterno abrazo de trabajo y divinidad.
Repetian y volvían a decirlo. 
— Es verdad, es verdad ― comentaban mecánicamente. 
Siempre escuchamos los cuentos Blanca y el bongo, aquellos donde, al compás de un cuatro llanero prestado a otros géneros, adornaba con sus rancheras las aguas del Caparo y el Cantón. 
Sentados todos a su alrededor: nietos y sobrinos, sobre todo los que llegaron vía adoptiva por sus nietas casaderas, la animamos para que diera inicio a la narración de sus fábulas que cuentan como el campesino descansaba retorno a casa montados en transportes de tabla, parando acá, parando allá, para comprar el menú de la alucinación que al llegar a casa los comunicará con Morfeo y estar con él hasta el primeros cantos de los gallos e iniciar la faena de nuevo. 

Edgar B. Sánchez B.

Suma en N (números naturales) 

Para realizar sumas con Números Naturales (N) se sigue un algoritmo memorizado sin que se entienda su esencia y enseñado mecánicamente. Si está en su deseo detenerse un poco, sugiero estar atento en que la clave fundamental es: “suma de términos semejantes”.

En un ejemplo como: 3b+4b; 3b es distinto a 4b, por cuanto en una hay 3 de las b; en la otra 4. Sin embargo son semejantes, 3 y 4 numeran las mismas cosas, en este caso b, por lo que se agrupan para representarlos por 7b, usando la estrategia denominada “propiedad distributiva” de los números naturales, es decir, 3xb+4xb=(3+4)xb=7xb (x simboliza la operación producto). En la notación 3b: 3 como numerador, cuenta la cantidad de b que hay, y b es el denominador ya que representa (denomina) lo contado, (pudiera ser b≡bultos; tres bultos=3b). Este principio es el que se utiliza en el algoritmo de la suma de números naturales. Incluso en la suma de fracciones: ¾ entendida como 3x(1/4), hay tres objetos, denotados por 1/4, llamados un cuarto, cuatro da el nombre (denomina) lo contado, de ahí que nos referimos al cuatro de ¾ como denominador y al tres como numerador. 

En la operación 3/7+5/7=3x(1/7)+5x(1/7)= (3+5)x(1/7)=8x(1/7)=8/7 (suma de séptimas de la unidad) 

Retomemos al propósito original, los números naturales. Si se desea saber cual es el representante simplificado de 30+40, entiéndase a 3 y 4 como contadores de cuantos dieces (10) hay, en el primero hay 3, 30=3x10; en la segunda 4. Así que 30+40=3x10+4x10=(3+4)x10=7x10=70. 

De igual forma, hay que tomar en cuenta que el valor del número 3 en 30, es distinto al que tiene en 300 o en 3000000 y distinto a si estuviera sólo, 3. En 30, 3 equivale a 3 decenas (tres veces 10), en 300, 3 equivale a 3 centenas (tres veces 100) y si está solo a tres unidades. Por lo que 3 en 30 no puede ser sumado con 3 en 303 y tampoco con 3, cuando está sólo. Esta ha dodo origen a al valor posicional de un número natural, que da cabida a forma polinómica única para cada numero; 
Ejemplo: 37429= 3x10000+7x1000+4x100+2x10+9 (se entiende mejor si se escribe lo unidad seguida de cero como potencias).
Tomando estas consideraciones; 34+65=(30+4)+(60+5)= (3.10+4)+(6.10+5), el 3 en 34 numera lo mismo que el 6 en 65, ambos son decenas, por lo tanto semejantes, de igual forma el 4 y el 5 numeran unidades y por tanto semejantes, así que al agrupar los semejantes se obtiene 34+65=(30+4)+(60+5)= (3.10+4)+(6.10+5)= (3+6).10+(4+5)=9.10+9=90+9=99.

Para el caso de que la suma de los numeradores supere a diez, como en 9x10+7x10=16x10= (10+6)x10=10x10+6x10 (propiedad distributiva) que es igual a 100+(6x10), una centena y seis desenas, que serán agrupadas con sus semejantes. Ejemplo: 946+789= (9x100+4x10+6)+(7x100+8x10+9), al agrupar semejantes se tiene (9+4)x100+(4+8)10+(6+9), que es lo mismo que (13x100)+(12x10)+(15) (el exceso de paréntesis tiente fines didácticos), en este caso y en los similares se descompone en cada numerador; 15=10+5, por lo que se agrega un desena al contador de las desenas y el 5 es el único en el lugar de las unidades, es decir hay (12+1)x10=13x10=(10+3)x10; una centena más tres decenas, se le agrega uno a trece y se tendremos 14 centenas. Conclusión 14x100+3x10+5=1435.

Carta a mamá

Trujillo domingo 06 de mayo 2012

Hola mamá he tenido que usar este antiguo recurso de las cartas manuscritas por cuanto se ha roto las otras formas de comunicación que siempre hubo entre nosotros, me agrada hacerlo, años que no practicaba caligrafía y siento que el mejor motivo para reiniciar el viejo hábito de escribir a mano, eres tú. La persona que vive en mí y que el tiempo no logra borrar. Otra forma sería que yo viajara hacia allá, pero temo que el hacerlo sería una escusa para quedarme allí, con ustedes, acompañándoles por infinitos días, pero esto traería como consecuencia el abandonar las cosas importantes que he ido obteniendo y que son mi expresa responsabilidad.

Al jubilarme de las actividades que hago iré hacia allá y con mis prestaciones haremos algo de provecho, dependiendo, claro está, si hay espacio disponible donde usted y papá están radicados ahora. Aprovecho la oportunidad para enviarle un saludo a mi padre y también un abrazo, no se como se redacta un abrazo, toma uno de los tuyos, de esos que encierra el fervor del cariño, y dile que yo he tratado de escribir lo mucho que lo amo.

Mamá si algún día puedes venir a visitarme, trae semillas de todas las plantas florales que tanto te gustan y así mi plantío tendrá un pedacito suyo. Me acuerdo, como si fuera hoy, cuando nos enseñaba a abrir un hueco en el jardín y echarle abono para que las plantas nacieran fuertes y produjeran flores hermosas. Así lo hago y mi casa se viste con ramilletes de variados colores que expresan tus siembras del saber en tierra abonada por ti.

Le cuento que he logrado superar algunas etapas y en todas he extendido la invitación para que asistas con papá, sé que no has venido por las múltiples ocupaciones que tienes: las vacas, los pájaros, las gallinas, su forma de ser y pensar que los demás las dejarán morir, también sé que no vienes por no rabiar con papá, a él no le gusta que salgas de casa. Lo que no he logrado, lo registro por escrito, es que mis hijos se levanten a estudiar a las 4 a.m. para que el día sea rendidor, como usted nos educó, estas palabras la has dicho todos los días desde que tengo memoria, de mis hijas sólo una mantuvo la costumbre, pero no es mí a quien ella reconoce la heredad del hábito tan fructífero. 

Quiero que sepas que poco a poco he ido escribiendo la historia de la familia, mi visión claro está, no puede ser de otra forma, sin embargo he tratado en lo posible adobarlas con las sugerencias de mis hermanos, sin su ayuda no tendrían el sabor a leña y de arroz con leche que tiene actualmente. Cuanto me gustaría, mamá, estar cerca suyo para leérselas sentados en el porche o debajo de la clavellina, y tú con su noble saber me ayudaras a recordar eventos que mi memoria borró.

En todo caso, todos los de acá, recordamos sus enseñanzas y deseamos, cuando hayamos cumplido con nuestros compromisos, ir a visitarle para que nos conforte de nuevo con tus abrazos de profunda tierra abonada.  

CARTA A PAPA

Hola papá, no sé qué está haciendo en este momento, pues es imposible enterarme con certeza de lo ocurre a su alrededor. He oído, sólo en rumores, que está bien en salud y en espíritu, acompañado por quienes siempre le amaron: Mamá, Ciro, Fortunato y Gonzalo, y algunos sobrinos que encontraron la forma de adquirir el pasaje para visitarle. 

La empresa mediadora para enviarle esta misiva no es segura y no sé, a ciencia cierta, si en realidad la enviaré, tampoco tengo certeza de que ellos, mis hermanos y sobrinos, estén a su lado; sería bueno para todos los contactara, tal vez por alguna estructura que no conozco, superior a internet. Dedico un parte de este parágrafo para sus nombres: Nelvis, Rogelio, Lorena, Alexander, Wilmer, Guadalupe.

Me excuso: no he ido a visitarle por no enfrentar la estruendosa experiencia de la terminal que vende los boletos de viaje; en verdad es un calvario de ruidos, de llantos, de gastos ilimitados y de revendedores de oficio que ofrecen, sin certificado de garantía, todo lo que desee, incluso seguros viales para el retorno, aunque también hay amables luchadores de uniforme blanco o verde. Lo que más me preocupa es que no existe, para adquirirlo de una vez, el pasaje de regreso; por una de esas, papá, podría ser así, que no me agrade y desee regresar nuevamente hacia acá donde he adquirido tantos bienes materiales. Imagino que donde vives hay buena organización, razón por la que, los que han ido no desean regresar. Suposición que fundamento con el efímero e insólido argumento de no conocer a alguien que haya retornado; Será que los prados allá están cultivados por siempreverdes o qué la terminal de retorno está atosigada de viajeros y el transporte es insuficiente, o, será más bien, que hay tanto que hacer y se ha borrado de la memoria los momentos acá compartidos.

Yo, que le conozco y conviví con usted; sé como es, y, donde esté, en la finca adquirida, hacha en mano, cultivará caña, sembrará aguacates, naranjos, café, yuca y tendrá una mula de silla, y junto a su yerno, Luis Alfonso Cárdenas, habrá construido un ingenio para seguir elaborando panela; Si ha aprendido el arte del arado con tractor, busca a Andrés de los Santos, su yerno por parte de Flor María, él puede asesorarle con la siembra de arroz, maíz y ajonjolí. Recuerdo papá, cuando Luis enamoraba a Otilia en el hueco de la parrilla de molienda, y también aquel sonoro y melódico silbido de Pablo Cárdenas que tanto gustó a Custodia, su hija; y aquella camioneta veloz, que desde Morrones-Guanarito surcaba llanos y montañas para pedir la mano de Flor en matrimonio. 

Papá, le cuento que ahora vivo solo; Edgar Alexander, mi hijo amado, animado por las historias de progreso contadas por mí sobre usted, se animó en buscarle y, no sé por qué no se reporta conmigo; si está a su lado, ruego para él, sé que la tiene, la paciencia que brindó para mí, cuando por mi rebeldía decía: hijo, entiendo que lo suyo es estudiar libros impresos en pergamino, y aunque yo no sé leer esos grafos, seguro estoy, sin embargo, que no sobrará desentrañar directamente las montañas; es el mejor de los libros: tantos colores, animales, árboles y sabores; es lo más abierto de todos textos, más fecundo; desde la experiencia contemplativa de su alrededor, complementará lo teórico, dará amplitud y hará, en usted, la comprensión de lo increado más cómoda y extensa; eso que se ha dado a llamar ejemplos de la vida diaria.

Papá, si mi hijo está acompañándole, dile que venga por las tarjetas telefónicas dedicadas a la naturaleza que tanto coleccionó y las guardo con celo para tenerlo presente. 

No sé contar más por el momento, nos veremos pronto, le amo papá. Su hijo


Edgar B. Sánchez B.

A PROPOSITO DEL CERO

Al definir una operación ♦ sobre un conjunto “H”, usualmente simbolizado, en ánimo de precisión, como el par (H,♦). [ésto entre corchetes no lo lean, ♦(H,H)→H, (a,b) →a♦b]. Se aspira que ♦ acepte a un elemento del conjunto H, como neutro; es decir, que haya un e, eЄH (se lee e pertenece H, o, e perteneciente H) tal que cualquiera otro b, bЄH, no sea alterado al operarlo con e: o lo que es igual, e♦b=e♦a=b. eЄH, desaparece como por arte de magia. “e” por tener esta característica es llamado “elemento neutro de H” para la operación ♦. 

Un elemento “e” con la virtud definida en el parágrafo anterior, es único (en H no hay otro elemento que comparta con “e” la característica de no alterar a los demás). Afirmación: “e es único”; Supongamos que hay dos, “e” y otro más “c”; e,cЄH, c neutro al igual que a, pero, e≠c; ambos cumplirían la propiedad de no alterar a los demás: e♦b=b♦e=b, b♦c=c♦b=b; b representa a cualquier otro elemento del conjunto H, es genérico; jugando un poco con las igualdades tenemos e=e♦c, por ser “c” neutro; e♦c=c por ser “e” neutro; así que, e=e♦c=c; conclusión e=c, por transitividad de la igualdad. Esto conduce a que en el mismo discurso se tiene, simultáneamente, c=e y c≠e, lo que es contradictorio (los políticos juegan con esto, en el arte del engaño); se concluye, por reducción al absurdo, que el supuesto, de que habían dos neutros, es falso. Es suficiente para garantizar que el elemento neutro es único. Probada la unicidad del neutro, se le asigna un nombre, que él sólo tendrá: el más común es “e”, en los números reales “0”.

Ahora, por conveniencia; tomando en cuenta el público holístico al que va dirigido esta reflexión, y en contra de la castrante especialización, cualquiera sea; deberíamos ser transdisciplinarios convivientes de una pluriversidad (no universidad, una versíon), reduzco el estudio al conjunto a los números reales R y a la operación “suma” +, es decir, al par (R,+) y con 0, cero, elemento neutro.

Repito, es intencional. En este conjunto, R, el elemento neutro es denotado con el símbolo “0”, llamado cero (Algunas versiones afirman que éste apareció un siglo después de los demás compañeros del sistema decimal). Por lo que se satisface que a+0=0+a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 0 es el único propietario de las características citadas, se abre otro abanico; “los números opuestos entre si” (si la operación fuera el producto se llamarían inversos entre si). Nuevamente otra definición, a los matemáticos nos encanta estas cosas, definir casi todo en los ensayos que escribimos; siempre, erróneamente, creemos que los lectores no saben buscar en el diccionario los vocablos de esta naturaleza; así que aguanten, en caso que les haya gustado lo acá escrito. Por cierto, creo que sí, de lo contrario estas últimas palabras no las hubieran leído. 

Volvamos al tema. Definición: dos números a,bЄR (a, b números reales) se les dice opuestos, si a+b=b+a=0. Aclaro, si se suman dos números y se tiene como resultante el 0 (cero), el neutro, cada uno será el opuesto del otro, en nuestro caso: a es el opuesto de b y, a su vez, b es el opuesto de a. 

Ahora viene otra afirmación: “El opuesto para un elemento a de R es único”. Estas afirmaciones usualmente son llamadas “LEMAS”. 
Este tipo de discurso precisa claridad de la ley, lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, para una proposición “p”; Enunciado: Si por aceptar la negación de p; ~p, conduce a una contradicción, entonces es cierto p. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación filosófica se llega a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que dimos por ciertas, una de ellas es falsa; reducción al absurdo, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera. 

Volvamos a que el opuesto de un elemento en R es único. Supongamos que aЄR tiene dos opuestos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, satisfacen: a+b=b+a=0 y a+c=c+a=0, por lo que: b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos opuestos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición, ~( b≠c) ≡(b=c). Ya que cada elemento de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éste herede el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el opuesto de “a” se usará la misma “a” alterada con el siguiente signo “-” y quedará “-a”: por lo que el opuesto de “a” es “-a” y el de “-a” es –(-a). En resumen: a+(-a)=(-a)+a=0 y (-a)+[-(-a)]=[-(-a)]+(-a)=0, por definición de opuesto. 

Esto último, observen bien, da la impresión de que “-a” tiene dos opuestos: “a” y -(-a), pero ya se aclaró que el opuesto es único, por lo que podemos anunciar que –(-a)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que menos por menos es más; el enemigo de mi enemigo es mi amigo. 
NOTA FINAL: Por favor matemáticos, no exijan tanto, se que debo probar que el opuesto también es un elemento de R y que usé la propiedad asociativa sin decir que ésta se toma como axioma; Tomando en cuenta la diversidad del público a quienes ve dirigido fue lo más legible que pude hacer. 

Dr. Edgar B. Sánchez B..

A PROPÓPOSITO DE FIBONACCI

Los números naturales, denotados con la letra N, esos que tanto usamos todos los días, pues son los que permite contar; en este caso incluiré el 0, cero; N={0,1,2,3,4,5,…..} tienen entre tantas características la de poderse agrupar en dos familias: la de los pares y la de los impares. 

La precisión de los que son, es directamente proporcional a entender el uso de la palabra existe. Dos definiciones: NÚMERO PAR: Se dice que un número natural “n” es par, si existe otro natural “m” tal que n=2m. Acorde con esto: 8 en N es par, pues existe 4 en N, tal que 8=2x4, y así, usted mismo puede diseñar otros ejemplos. NUMERO IMPAR: Se dice que un número natural “n” es impar, si existe otro natural “m” tal que n=2m+1. En conformidad, 13 es impar, pues existe el 6, tal que 13=2x6+1 (primero el producto y luego la suma, es el orden de la prioridad). OTRAS DEFINICIONES: NATURALES CONSECUTIVOS: Dos naturales cualesquiera son consecutivos si son de la forma: n, n+1; 8 y 9 son consecutivos pues son de la forma 8, 8+1. PARES CONSECUTIVOS: En cambio dos pares son consecutivos si son de la forma 2n, 2n+2, precisando un poco: Se dice que dos números naturales pares h, k, son consecutivos si existe un natural n, tal que h=2n y k=2n+2. Es por eso que se dice que 14 y 16 son pares consecutivos, pues existe el número natural 7, tal que 14=2x7 y 16=2x7+2. IMPARES CONSECUTIVOS: en cambio dos números naturales se les dice impares consecutivos, si son de la forma 2n+1, 2n+3; por lo que 15 y 17 son impares consecutivos, ya que existe el número natural 7, tal que 15=2x7+1 y 17=2x7+3 (repito: no olviden que primero se realiza el producto). 

Lema 1: El producto de dos naturales pares consecutivos es igual al cuadrado del número natural impar que está entre ellos, menos uno. 
Prueba: Sean los números naturales consecutivos: 2n, 2n+1, 2n+2. Por lo que 2n y 2n+2 son pares consecutivos; el natural impar entre ellos es 2n+1. Ahora la multiplicación: (2n)x(2n+2)=4n2+4n=(2n)2 +2(2n)= [(2n)2 +2(2n)+1]-1= [2n+1]2-1. Aplicando esto, si se desea multiplicar 6x8, basta recordar que es igual a 72-1=48, otro ejemplo 14x16=152-1=225-1=224.

Lema 2: El producto de dos naturales impares consecutivos es igual al cuadrado del número natural par que está entre ellos, menos uno.
Prueba: Sean los números naturales consecutivos: 2n+1, 2n+2, 2n+3. Por lo que 2n+1 y 2n+3 son impares consecutivos; el natural par entre ellos es 2n+2. Ahora la multiplicación de los impares: (2n+1)x(2n+3)=(2n)2+8n+3=[(2n)2 +4(2n)+4]+3-4=[2n+2]2-1. El último término es el cuadrado del par central menos uno. Aplicando esto, si se desea multiplicar 99x101, basta recordar que es 1002 -1=10.000-1=9.999, de igual forma 7x9=82-1=64-1=63.

Nota: Ya sean pares o impares consecutivos el producto entre ellos es el cuadrado del que está en el centro menos uno. Esta prueba sigue estrictamente el razonamiento deductivo, no existe ejemplos donde se pueda falsar, al igual que los de inducción completa. No ocurre lo mismo en el caso de los razonamientos inductivos, en los cuales debemos estar atentos a la falsación. 

Dr. Edgar B. Sánchez B.

A PROPOSITO DEL UNO(1) 

Luego de trabajar algunas propiedades del cero, que es el elemento neutro de (R,+), números reales con la operación suma. Cambiemos para (R,•), números reales con la operación producto. El elemento llamado uno “1”, para el producto, es el elemento neutro; el cual satisface la propiedad de ser único. 

Por ser neutro, satisface la propiedad: a•1=1•a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 1 es el único propietario de esta característica, conducimos la atención a “los números inversos entre sí”. Si leyó, el ensayo A PROPOSITO DEL CERO se habrá dado cuenta del comentario que a los matemáticos nos encanta definir, casi todo. Sigamos la rutina. Se dice que a,bЄR, a y b números reales, ambos distintos de cero, son inversos entre sí, si a•b=b•a=1; que el producto entre ellos sea uno. Aclaratoria, solo para fijar la definición; si se multiplican dos números reales y se tiene como resultante el 1 (uno), elemento neutro de (R,•), cada uno será el inverso del otro, en este caso: a es el inverso de b y, a su vez, b es el inverso de a. 
NOTA IMPORTANTE: observemos que el 0, no puede participar, pues el producto debe dar 1, y, 0 multiplicado por cualquier número es 0; ésta es la razón por la que 0 nunca estará en el denominador de una fracción. Más adelante quedará claro. 

Prueba de unicidad. 
Lema: “El inverso de un elemento “a” de R, distinto de cero, es único”. 
Prueba:
Al igual que en el caso de la unicidad del 0 (cero) para la operación suma, repito que este tipo de discurso precisa claridad de la ley de la lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, es decir aceptamos un conjunto de premisas, si estas nos conduce a una contradicción, una de ellas es falsa y por tanto su negación es verdadera. Enunciado: Si aceptar como verdadera la negación de p, es decir, ~p es verdadera, y esto conduce a una contradicción, entonces es cierto “p” la cual es equivalente a ~(~p), {p≡~(~p)}. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación deductiva conduce a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que se dieron por ciertas pues, una de ellas es falsa; y la ley de “reducción al absurdo”, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera. 

Retornemos a la afirmación, que el inverso de un elemento en a de R, distinto de cero, es único. Supongamos que aЄR tiene dos inversos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, ambos satisfacen con “a” la propiedad del inverso: a•b=b•a=1 y a•c=c•a=1, por lo que: b=b•1=b•(a•c)=(b•a)•c=1•c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos inversos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción, b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición ~( b≠c)≡(b=c). Como ya se puede afirmar que cada elemento, distinto de cero, de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éstos hereden el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el inverso de “a” se usará la misma “a” alterada con el signo “-1” como supraíndice y quedará “a(-1)”. Amigos lectores, esta notación es impuesta, dado que la página donde lees no acepta líneas distintas dentro de un renglón de escritura. Continuando con la exposición tenemos que el inverso de “a” es “a(-1)” y el de “a(-1)” es [a(-1)](-1). En resumen: a•a(-1)=a(-1)•a=1 y a(-1)•[a(-1)](-1)=[a(-1)](-1)+a(-1)=1, por definición de opuesto. De ahora en adelante el elemento “a”, distinto de cero, le dará nombre a su inverso a(-1), dado que éste es único. 

Habrán observado, cuando escriben en matemática, la diferencia de notación para a+a+a+a+a+a y para a•a•a•a•a•a, en ambas se cuentan la cantidad de repetición del elemento “a” y, se comprime la notación, en este caso, con un seis(6) atrás, para la primera, y 6 como exponente para la segunda: a+a+a+a+a+a=6a y a•a•a•a•a•a=a(6), “a” elevado a la 6. Siguiendo la costumbre, es por la que, el opuesto de “a” en (R,+) lleva el (-1) atrás, el opuesto de “a” es (-1)a=-a, mientras que el (-1) para el inverso es un supraíndice, el inverso de “a” es a(-1), también se usa, uno dividido por a. Esta “a” en el denominador nunca es cero, ya que la definición de inverso así lo exige, para que el producto pueda ser igual a uno(1), también el inverso del inverso tampoco es cero. Repito hasta el cansancio: como a•c=c•a=1, se tiene que c es el inverso de a, por lo que, el inverso del inverso de a, es a mismo; y, a es el inverso de c, por lo que, el inverso del inverso de c, es c mismo. 

Hay que tener cuidado, esto ayudará entender, que la notación del inverso de un elemento, es el original con exponente (-1), razón por la que el inverso de a(-1) es [a(-1)](-1). 

Esto último, observen bien, da la impresión de que “a(-1)” tiene dos inversos: a saber, “a” y [a(-1)](-1), pero ya se aclaró que el inverso es único, de lo cual, podemos anunciar que [a(-1)](-1)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que el inverso del inverso es el elemento original. 

Dr. Edgar B. Sánchez B

JUGANDO A LAS CARTAS

Las condiciones. 
Tómese un mazo de cartas, cualquiera sea el número. A la totalidad de la cartas se le llamará mazo; las subdivisiones manojo. En este caso el mazo tendrá 39 unidades ¿por qué así?, sencillamente, porque se harán tres manojos al azar, eso sí, sin trampa, previamente se barajan; se reparten secuencialmente, una a una, por lo que cada manojo tendrá 13 cartas. Estas condiciones no son obligatorias el número de cartas puede ser cualquiera; es más cómodo si el mazo tiene múltiplos de tres: 3, 6, 9, 45, 36, 1236451443…….

Numeración:
La numeración de las cartas, sin marcarlas, hay que hacerla con las figuras hacia abajo, la que queda arriba, en el mazo, es la número 1, la última es la número 39; con las figuras descubiertas, la primera de arriba es la número 39; en los manojos, boca abajo, las primeras son unos, por lo que hay tres 1; y hay tres 13; Si no crees, con las figuras visibles, que la de arriba le corresponde el número trece, ponlas con las figuras hacia abajo, ese es el acuerdo, y cuéntelas. No habrá galimatías, pues el manojo importante es aquel que señale un colaborador.

La ejecución.
Se pide a un observador, llamémosle Juan, es un buen nombre; antes de iniciar el reparto, que escoja una carta (una sola) de la totalidad del mazo, y que la muestre a todos los presentes, menos al ejecutante y la devuelva al mazo; es un buen síntoma pedir a otro que baraje el mazo; el prestigiador no necesita ver la carta, el sabe que después de cuatro repartos, la carta seleccionada estará en el lugar 20 del mazo y siete en el manojo, 13+7=20. Pronto lo entenderán, eso si, hay que hacer cuatro reparticiones; para que acepte ser el número 20, de ahí no se saldrá. Hay que pedirle al colaborador, a Juan, que preste atención en cual de los manojos queda la carta seleccionada, luego de cada uno de los 4 repartos. El indicado por Juan se pondrá en el centro de los dos restantes, para conformar el mazo nuevamente y se reparte de nuevo en tres manojos.

¿Por qué el 20?
Numeradas las cartas, sin marcarlas, del manojo señalado, la escogida le corresponderá un número del uno (1) al trece (13), pues el manojo donde ella esté está conformado por 13 cartas. Para esta explicación consideraré que es el 12, puede ser cualquiera, solo siga el proceso deductivo acá detallando. Empecemos: 

Primer reparto
Hacer tres manojos de trece cartas con las figuras hacia arriba, de modo que Juan las vea, no las distribuya tan rápido, no es para lucir velocidad. Júntalas para hacer el mazo, con el manojo señalado en el centro de los otros dos; ahora no se barajan, cuidado con eso. Recuerde que estamos suponiendo que es la número 12 del manojo seleccionado por Juan; conformado el mazo, por estar todas juntas, la carta le corresponderá el 25: 13+12=25. 

Segundo reparto 
La carta quedará ahora en el lugar 9; las primeras 24 formaron tres manojos de 8, 3x8=24, por lo que la 25 le tacará, en el manojo que sea, el lugar 9; juntarlas nuevamente, ahora le corresponde el número 22: 13+9=22; 

Tercer reparto 
Al distribuirlas por tercera vez, hay que hacerlo cuatro veces, en su manojo particular quedará como 8, pues las primeras 21 formarán manojos de 7 cartas, así que la 22 quedará de 8, conformado el mazo será la número 21: 13+8=21.

Cuarto reparto
Ahora quedará de 7 en el manojo que Juan señale y de 20 en el mazo; esta propiedad la conservará en caso de que el ejecutante continúe repartiendo. Última explicación: las primeras 18 cartas harán manojos de 6, las tres siguientes ocuparán el lugar 7, cada una donde le corresponda; otra vez hecho el mazo, será la 20. 

Espectáculo
El ilusionista con las figura hacia arriba dice: la primero no, la segundo tampoco, la tercera menos, y así sucesivamente, y muestra como asertiva la 20. 

Repetición
La misma cuenta pero con otro número. Para esta explicación consideraré que quedó como 1, en el primer reparto. Al estar todas juntas, la carta seleccionada estará en el lugar 14, 13+1=14, y se reparte por segunda vez, por lo que la carta quedará en el lugar 5, 14=3x4+2, las primeras 12 hacen montones de 4 cartas y las dos tres siguientes de quintas para cada manojo; juntas nuevamentele corresponde el 18, 13+5=15; al distribuirlas por tercera vez, en su manojo particular queda como 6, al juntarse en 19; el cuarto reparto de 7 en el manojo y de 20 en el mazo. así que el ilusionista de las cartas, solo debe contar hasta 20. 

Observación final. Para mazos de 30 cartas se cuenta hasta 16, mitad más una; así para todos los pares. Para mazos de 69, se cuenta 35; proviene de sumar primero uno y luego se divide entre dos; así para los números impares.


GENERALIZACIÓN

Es una pequeña generalización en el modo de contar, aunque se continúa con un mazo de 39 cartas. Propongo a mis lectores hacerlo con mazos de cualquier cantidad de cartas y distribuidos en un número arbitrario de manojos. Ya sabemos que el truco del prestidigitador es organizar el mazo con el manojo señalado en el centro. La carta “X” seleccionada quedará, en el mazo, numerada del 1 al 40: 1≤X≤40 y en el manojo, del 1 al 13; 1≤X≤13 (trece posibles). Luego del primer reparto, al hacer el mazo, se suman trece cartas al comienzo del indicado por Juan, por lo que el intervalo cambia a: 14≤X+13≤25 (solo 12 posibilidades en el mazo, en vez de las 40 originales). En la segunda repartición, en las primeras 13, no está; éstas, al repartirlas, asignan en cada manojo las primeras 4, por lo que el número posible para la seleccionada es después 5, las siguientes 13, proporcionan 4 a dos manojos y 5 al otro, por lo que estará entre 5 y 9, en el manojo se cumple que 5≤X≤9; por lo que en el mazo, 18≤X≤22 (18=5+13 y 22=9+13); da acá, la carta sólo puede ser: 18, 19, 20, 21, 22 (cinco posibles). Tercera repartición: En las primeras 15 del mazo no está, así que le tocará después del 6, en los manojos; las primeras 22 cartas producen 2 manojos de 7 y uno de 8; de ahí que será menor a 8; en el mazo, desde 19 hasta la 21: 19, 20, 21 (tres posibles); Cuarta repartición: en las primeras 18 no está, estas conforman 3 manojos de 6, las siguiente 3, serán número 7 en cada manojo, por lo que el mazo es la 20.
Al hacer mayor la cantidad de manojos, impar preferiblemente, se reduce el número de cartas por manojo. Si el deseo fuese hacer 13 manojos, todos tendrán 3 cartas, de ahí sólo tres posibilidades, y como va en el centro, seis al comienzo y otro tanto para el final; en el mazo, los números posibles serán: 19, 20 ,21; al repartirlas por segunda oportunidad, le corresponde en el manojo el lugar 7 y en el mazo el 20. En sólo dos repartos.