A PROPOSITO DEL UNO(1)
Luego de trabajar algunas propiedades del cero, que es el elemento neutro de (R,+), números reales con la operación suma. Cambiemos para (R,•), números reales con la operación producto. El elemento llamado uno “1”, para el producto, es el elemento neutro; el cual satisface la propiedad de ser único.
Por ser neutro, satisface la propiedad: a•1=1•a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 1 es el único propietario de esta característica, conducimos la atención a “los números inversos entre sí”. Si leyó, el ensayo A PROPOSITO DEL CERO se habrá dado cuenta del comentario que a los matemáticos nos encanta definir, casi todo. Sigamos la rutina. Se dice que a,bЄR, a y b números reales, ambos distintos de cero, son inversos entre sí, si a•b=b•a=1; que el producto entre ellos sea uno. Aclaratoria, solo para fijar la definición; si se multiplican dos números reales y se tiene como resultante el 1 (uno), elemento neutro de (R,•), cada uno será el inverso del otro, en este caso: a es el inverso de b y, a su vez, b es el inverso de a.
NOTA IMPORTANTE: observemos que el 0, no puede participar, pues el producto debe dar 1, y, 0 multiplicado por cualquier número es 0; ésta es la razón por la que 0 nunca estará en el denominador de una fracción. Más adelante quedará claro.
Prueba de unicidad.
Lema: “El inverso de un elemento “a” de R, distinto de cero, es único”.
Prueba:
Al igual que en el caso de la unicidad del 0 (cero) para la operación suma, repito que este tipo de discurso precisa claridad de la ley de la lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, es decir aceptamos un conjunto de premisas, si estas nos conduce a una contradicción, una de ellas es falsa y por tanto su negación es verdadera. Enunciado: Si aceptar como verdadera la negación de p, es decir, ~p es verdadera, y esto conduce a una contradicción, entonces es cierto “p” la cual es equivalente a ~(~p), {p≡~(~p)}. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación deductiva conduce a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que se dieron por ciertas pues, una de ellas es falsa; y la ley de “reducción al absurdo”, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera.
Retornemos a la afirmación, que el inverso de un elemento en a de R, distinto de cero, es único. Supongamos que aЄR tiene dos inversos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, ambos satisfacen con “a” la propiedad del inverso: a•b=b•a=1 y a•c=c•a=1, por lo que: b=b•1=b•(a•c)=(b•a)•c=1•c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos inversos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción, b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición ~( b≠c)≡(b=c). Como ya se puede afirmar que cada elemento, distinto de cero, de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éstos hereden el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el inverso de “a” se usará la misma “a” alterada con el signo “-1” como supraíndice y quedará “a(-1)”. Amigos lectores, esta notación es impuesta, dado que la página donde lees no acepta líneas distintas dentro de un renglón de escritura. Continuando con la exposición tenemos que el inverso de “a” es “a(-1)” y el de “a(-1)” es [a(-1)](-1). En resumen: a•a(-1)=a(-1)•a=1 y a(-1)•[a(-1)](-1)=[a(-1)](-1)+
Habrán observado, cuando escriben en matemática, la diferencia de notación para a+a+a+a+a+a y para a•a•a•a•a•a, en ambas se cuentan la cantidad de repetición del elemento “a” y, se comprime la notación, en este caso, con un seis(6) atrás, para la primera, y 6 como exponente para la segunda: a+a+a+a+a+a=6a y a•a•a•a•a•a=a(6), “a” elevado a la 6. Siguiendo la costumbre, es por la que, el opuesto de “a” en (R,+) lleva el (-1) atrás, el opuesto de “a” es (-1)a=-a, mientras que el (-1) para el inverso es un supraíndice, el inverso de “a” es a(-1), también se usa, uno dividido por a. Esta “a” en el denominador nunca es cero, ya que la definición de inverso así lo exige, para que el producto pueda ser igual a uno(1), también el inverso del inverso tampoco es cero. Repito hasta el cansancio: como a•c=c•a=1, se tiene que c es el inverso de a, por lo que, el inverso del inverso de a, es a mismo; y, a es el inverso de c, por lo que, el inverso del inverso de c, es c mismo.
Hay que tener cuidado, esto ayudará entender, que la notación del inverso de un elemento, es el original con exponente (-1), razón por la que el inverso de a(-1) es [a(-1)](-1).
Esto último, observen bien, da la impresión de que “a(-1)” tiene dos inversos: a saber, “a” y [a(-1)](-1), pero ya se aclaró que el inverso es único, de lo cual, podemos anunciar que [a(-1)](-1)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que el inverso del inverso es el elemento original.
Dr. Edgar B. Sánchez B
Luego de trabajar algunas propiedades del cero, que es el elemento neutro de (R,+), números reales con la operación suma. Cambiemos para (R,•), números reales con la operación producto. El elemento llamado uno “1”, para el producto, es el elemento neutro; el cual satisface la propiedad de ser único.
Por ser neutro, satisface la propiedad: a•1=1•a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 1 es el único propietario de esta característica, conducimos la atención a “los números inversos entre sí”. Si leyó, el ensayo A PROPOSITO DEL CERO se habrá dado cuenta del comentario que a los matemáticos nos encanta definir, casi todo. Sigamos la rutina. Se dice que a,bЄR, a y b números reales, ambos distintos de cero, son inversos entre sí, si a•b=b•a=1; que el producto entre ellos sea uno. Aclaratoria, solo para fijar la definición; si se multiplican dos números reales y se tiene como resultante el 1 (uno), elemento neutro de (R,•), cada uno será el inverso del otro, en este caso: a es el inverso de b y, a su vez, b es el inverso de a.
NOTA IMPORTANTE: observemos que el 0, no puede participar, pues el producto debe dar 1, y, 0 multiplicado por cualquier número es 0; ésta es la razón por la que 0 nunca estará en el denominador de una fracción. Más adelante quedará claro.
Prueba de unicidad.
Lema: “El inverso de un elemento “a” de R, distinto de cero, es único”.
Prueba:
Al igual que en el caso de la unicidad del 0 (cero) para la operación suma, repito que este tipo de discurso precisa claridad de la ley de la lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, es decir aceptamos un conjunto de premisas, si estas nos conduce a una contradicción, una de ellas es falsa y por tanto su negación es verdadera. Enunciado: Si aceptar como verdadera la negación de p, es decir, ~p es verdadera, y esto conduce a una contradicción, entonces es cierto “p” la cual es equivalente a ~(~p), {p≡~(~p)}. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación deductiva conduce a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que se dieron por ciertas pues, una de ellas es falsa; y la ley de “reducción al absurdo”, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera.
Retornemos a la afirmación, que el inverso de un elemento en a de R, distinto de cero, es único. Supongamos que aЄR tiene dos inversos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, ambos satisfacen con “a” la propiedad del inverso: a•b=b•a=1 y a•c=c•a=1, por lo que: b=b•1=b•(a•c)=(b•a)•c=1•c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos inversos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción, b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición ~( b≠c)≡(b=c). Como ya se puede afirmar que cada elemento, distinto de cero, de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éstos hereden el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el inverso de “a” se usará la misma “a” alterada con el signo “-1” como supraíndice y quedará “a(-1)”. Amigos lectores, esta notación es impuesta, dado que la página donde lees no acepta líneas distintas dentro de un renglón de escritura. Continuando con la exposición tenemos que el inverso de “a” es “a(-1)” y el de “a(-1)” es [a(-1)](-1). En resumen: a•a(-1)=a(-1)•a=1 y a(-1)•[a(-1)](-1)=[a(-1)](-1)+
Habrán observado, cuando escriben en matemática, la diferencia de notación para a+a+a+a+a+a y para a•a•a•a•a•a, en ambas se cuentan la cantidad de repetición del elemento “a” y, se comprime la notación, en este caso, con un seis(6) atrás, para la primera, y 6 como exponente para la segunda: a+a+a+a+a+a=6a y a•a•a•a•a•a=a(6), “a” elevado a la 6. Siguiendo la costumbre, es por la que, el opuesto de “a” en (R,+) lleva el (-1) atrás, el opuesto de “a” es (-1)a=-a, mientras que el (-1) para el inverso es un supraíndice, el inverso de “a” es a(-1), también se usa, uno dividido por a. Esta “a” en el denominador nunca es cero, ya que la definición de inverso así lo exige, para que el producto pueda ser igual a uno(1), también el inverso del inverso tampoco es cero. Repito hasta el cansancio: como a•c=c•a=1, se tiene que c es el inverso de a, por lo que, el inverso del inverso de a, es a mismo; y, a es el inverso de c, por lo que, el inverso del inverso de c, es c mismo.
Hay que tener cuidado, esto ayudará entender, que la notación del inverso de un elemento, es el original con exponente (-1), razón por la que el inverso de a(-1) es [a(-1)](-1).
Esto último, observen bien, da la impresión de que “a(-1)” tiene dos inversos: a saber, “a” y [a(-1)](-1), pero ya se aclaró que el inverso es único, de lo cual, podemos anunciar que [a(-1)](-1)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que el inverso del inverso es el elemento original.
Dr. Edgar B. Sánchez B
