A PROPOSITO DEL UNO(1) 

Luego de trabajar algunas propiedades del cero, que es el elemento neutro de (R,+), números reales con la operación suma. Cambiemos para (R,•), números reales con la operación producto. El elemento llamado uno “1”, para el producto, es el elemento neutro; el cual satisface la propiedad de ser único. 

Por ser neutro, satisface la propiedad: a•1=1•a=a, para todo aЄR. Aceptado de que 1 es el único propietario de esta característica, conducimos la atención a “los números inversos entre sí”. Si leyó, el ensayo A PROPOSITO DEL CERO se habrá dado cuenta del comentario que a los matemáticos nos encanta definir, casi todo. Sigamos la rutina. Se dice que a,bЄR, a y b números reales, ambos distintos de cero, son inversos entre sí, si a•b=b•a=1; que el producto entre ellos sea uno. Aclaratoria, solo para fijar la definición; si se multiplican dos números reales y se tiene como resultante el 1 (uno), elemento neutro de (R,•), cada uno será el inverso del otro, en este caso: a es el inverso de b y, a su vez, b es el inverso de a. 
NOTA IMPORTANTE: observemos que el 0, no puede participar, pues el producto debe dar 1, y, 0 multiplicado por cualquier número es 0; ésta es la razón por la que 0 nunca estará en el denominador de una fracción. Más adelante quedará claro. 

Prueba de unicidad. 
Lema: “El inverso de un elemento “a” de R, distinto de cero, es único”. 
Prueba:
Al igual que en el caso de la unicidad del 0 (cero) para la operación suma, repito que este tipo de discurso precisa claridad de la ley de la lógica binaria, denominada “reducción al absurdo”, es decir aceptamos un conjunto de premisas, si estas nos conduce a una contradicción, una de ellas es falsa y por tanto su negación es verdadera. Enunciado: Si aceptar como verdadera la negación de p, es decir, ~p es verdadera, y esto conduce a una contradicción, entonces es cierto “p” la cual es equivalente a ~(~p), {p≡~(~p)}. Simbólicamente: ~p→C ≡p; léese C, como contradicción y ~p, no p. Cuando con una argumentación deductiva conduce a una contradicción, entonces hay que revisar las afirmaciones supuestas, que se dieron por ciertas pues, una de ellas es falsa; y la ley de “reducción al absurdo”, en lógica binaria, afirma que la negación es verdadera. 

Retornemos a la afirmación, que el inverso de un elemento en a de R, distinto de cero, es único. Supongamos que aЄR tiene dos inversos distintos b,cЄR (b≠c), es decir, ambos satisfacen con “a” la propiedad del inverso: a•b=b•a=1 y a•c=c•a=1, por lo que: b=b•1=b•(a•c)=(b•a)•c=1•c=c, de donde, por transitividad de la igualdad, b=c; la suposición de dos inversos “a” y ”b” distintos, nos condujo a la contradicción, b≠c y b=c, aplicando reducción al absurdo, es cierta la negación de la suposición ~( b≠c)≡(b=c). Como ya se puede afirmar que cada elemento, distinto de cero, de los números reales tienen un sólo apuesto merecen que éstos hereden el mismo símbolo, con un pequeña alteración; así que para denotar el inverso de “a” se usará la misma “a” alterada con el signo “-1” como supraíndice y quedará “a(-1)”. Amigos lectores, esta notación es impuesta, dado que la página donde lees no acepta líneas distintas dentro de un renglón de escritura. Continuando con la exposición tenemos que el inverso de “a” es “a(-1)” y el de “a(-1)” es [a(-1)](-1). En resumen: a•a(-1)=a(-1)•a=1 y a(-1)•[a(-1)](-1)=[a(-1)](-1)+a(-1)=1, por definición de opuesto. De ahora en adelante el elemento “a”, distinto de cero, le dará nombre a su inverso a(-1), dado que éste es único. 

Habrán observado, cuando escriben en matemática, la diferencia de notación para a+a+a+a+a+a y para a•a•a•a•a•a, en ambas se cuentan la cantidad de repetición del elemento “a” y, se comprime la notación, en este caso, con un seis(6) atrás, para la primera, y 6 como exponente para la segunda: a+a+a+a+a+a=6a y a•a•a•a•a•a=a(6), “a” elevado a la 6. Siguiendo la costumbre, es por la que, el opuesto de “a” en (R,+) lleva el (-1) atrás, el opuesto de “a” es (-1)a=-a, mientras que el (-1) para el inverso es un supraíndice, el inverso de “a” es a(-1), también se usa, uno dividido por a. Esta “a” en el denominador nunca es cero, ya que la definición de inverso así lo exige, para que el producto pueda ser igual a uno(1), también el inverso del inverso tampoco es cero. Repito hasta el cansancio: como a•c=c•a=1, se tiene que c es el inverso de a, por lo que, el inverso del inverso de a, es a mismo; y, a es el inverso de c, por lo que, el inverso del inverso de c, es c mismo. 

Hay que tener cuidado, esto ayudará entender, que la notación del inverso de un elemento, es el original con exponente (-1), razón por la que el inverso de a(-1) es [a(-1)](-1). 

Esto último, observen bien, da la impresión de que “a(-1)” tiene dos inversos: a saber, “a” y [a(-1)](-1), pero ya se aclaró que el inverso es único, de lo cual, podemos anunciar que [a(-1)](-1)=a. Es de esta reflexión donde brota lo que todos sabemos, que el inverso del inverso es el elemento original. 

Dr. Edgar B. Sánchez B

A PROPÓSITO DEL AJITRUJILLANO

Hace 28 años un aviso de periódico de circulación nacional me condujo a la ciudad de Trujillo; Como tachirense acostumbrado a tomar sólo los autobuses que viajan a Maracay-Caracas y, también como estudiante de matemática en la Facultad de Ciencias en Mérida, este estado, donde habita el gélido y majestuoso Guirigay, aún no aparecía en mi bitácora. Ese periódico anunciaba varios cargos por concurso de oposición en la Universidad de Los Andes. Abrir sus páginas me abrió un sinfín de oportunidades que aún no terminan; eso creo. 

Cada estado tiene sus particulares encantos y, para los trujillanos, uno especial es su picantetrujillano -así sin separar, es mi propuesta- el cual tiene como base el maguey y el diablito, el primero es la parte inicial de la floración, el tallo consumible que al dejarlo crecer portará las futuras flores (diablitos), al ser  cocidos adecuadamente y mezclados luego con abundantes chireles da como resultado la delicia que les hablo. No continuo, prefiero que un lector agregue los aderezos necesarios. 

Lo cierto, y sobre eso quiero llamar la atención, es que ahora, el sabroso ajitrujillano se comercializa; lo podemos encontrar, en Trujillo, casi en cualquier bodega. Bienvenidos fabricantes de lo nuestro.

Lo que no veo son los cultivos del MAGUEY base de esa delicia, y además se ha infundido la creencia de que él solo (sin acento) crece en ambientes inhóspitos e intransitables; aunque en esto hay algo de verdad, le gusta cierta aridez; no es menos cierto que la población sólo desea encontrarlo, cortarlo, cocinarlo y comerlo en distintos guisos,  sin preocuparle la posible extinción.

Sugiero, a los más versados en el tema; me incluyo en la propuesta pues deseo conocerlo y cultivarlo, educar-aprender desde y hacia las comunidades con tradición del ajitrujillano para que le ayudemos a nacer-crecer-reproducirse-convivir-ser jardín-saborear-ajitrujillano.

Como no es mucho lo que puedo aportar, sólo puedo expresar públicamente mi preocupación, planteo las siguientes propuestas:

-       Educar-educarse con las comunidades para conocerlo mejor.

-       Crear viveros.

-       Proteger los existentes.

-       Informar quienes tienen experiencias parecidas (Lara es uno de los estados)

-       Escribir como es el proceso para prepararlo.

-       Difundir que esta sabrosa base necesita de nosotros los consumidores.

Promover servicios comunitarios para documentarlo. 

A PROPOSITO DEL ORDEN DICCIONARIO 

SI sólo existiera tres símbolos para expresar las ideas, por ejemplo €, ¥, # y todas las palabras escritas con ellos hicieran alusión a algún concepto, tendríamos que, de acuerdo a la tradición del diccionario, que establecer un orden entre ellas; por ejemplo: €, ¥, #; este acuerdo nos llevaría a que las palabras de una letra estarían ordenadas así: €, ¥, #. Ahora bien, el volumen de los contenidos a comunicar, pronto crearía la necesidad de arreglos de mayor tamaño, y escribirlas con estos únicos símbolos; por lo que es conveniente, un tanto en honor a la gerontogogía (es una broma), establecer previamente el siguiente acuerdo posicional (mostrado con un ejemplo): la palabra €¥#€€¥ tiene a la letra ¥, de primer lugar, la más a la derecha; seguidamente la letra €, de segundo; €, de tercero; #, de cuarto; ¥, de quinto; y €, de sexto lugar. Así sucesivamente, será la numeración para palabras de mayor tamaño. 

Las palabras de dos letras tendrán el siguiente orden: €€, €¥,€#, ¥€,¥¥,¥#, #€,#¥, ##. Para lograrlo, se inicia el proceso escogiendo a €, por ser la primera, para el segundo lugar, luego, ocupado ya el segundo; se continua, respetando el acuerdo, a llenar el primer lugar; ubicados, se inicia con €, y así, hasta agotarlos; por lo que aparece €€, luego €¥ y seguidamente €#; nótese que se agotaron las palabras con € de segundo, esto invita a cambiarla por la siguiente; corresponde, según el orden a ¥; de último por #. Las tres últimas palabras de dos letras serán: #€,#¥,##. Haciendo un pequeño resumen, la primera palabra de dos letras es €€ y la última es ##, por ser € la primera y # la última, en el acuerdo. 

Agotadas las palabras de dos letras, la necesidad impone la panorámica para las de tres y es “evidente” que empezará con €€€ y terminará con ###. Si se detiene un poco en el parágrafo anterior, se podrá entender que las palabras tendrán el siguiente orden: €€€, €€¥,€€#, €¥€, €¥¥, €¥#, €#€, €#¥, €##, Y€€, ¥€¥,¥€#, ¥¥€, ¥¥¥, ¥¥#, ¥#€, ¥#¥, ¥##, #€€, #€¥, #€#, #¥€, #¥¥, #¥#, ##€, ##¥, ###. Como hay tres espacios: _ _ _ y tres posibilidades para llenarlos: €, ¥, #; por ley del producto hay 3x3x3=27 palabras de tres letras; y 3x3x3x3=81 palabras de cuatro letras, y así sucesivamente. Este método de conteo no de deja espacio par la falsación de Poper. 

Traslademos esto al sistema octal (ocho dígitos), siguiendo el orden imperativo 0, 1,2,3,4,5,6,7; aceptando que las palabras mayores de un dígito no pueden iniciar por cero tendremos lo siguiente: Empezaríamos con 10: primera letra para el segundo lugar y primera para el primer lugar. Se cambia el primer lugar, por los sucesivos, hasta agotar la existencia: 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17; agotados para el primer lugar, modificamos el segundo; por el que sigue la letra 2, y se inicia de nuevo, así que aparece la palabra 20 después de 19 (¡no es veinte!. Ese nombre es exclusivo para el sistema decimal y acá es octal) ; esta secuencia continua hasta agotar todas las posibilidades de dos letras, por lo que el último es 99. Y nuevamente se establece la necesidad de incorporar una nueva posición; y como se acordó no iniciar las palabras con 0, entonces la primera de tres dígitos es 100 y se continúa la sustitución de derecha a izquierda hasta agotarlos. El último será 777, para abrir paso a la primera de cuatro letras 1000. Acuérdese, ¡no es mil! 

Esta dinámica ayuda a construir un relación, llamada “Relación de Orden”, en la que (a,b)<(c,d) si y sólo si a
Al seguir con cuidado el orden diccionario para el sistema decimal formado por las letras 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; entendemos por que después de la palabra un 19 está 20 y de la palabra 45 está 46. Considerados estos como Números naturales N (N negrita) adquirirán los nombres con los que lo conocemos. No es cierto, la expresión peyorativa de que muchos humanos conocen menos de doscientas palabras, pues si sabe contar hasta mil ya las superó.


Hay varios sistemas: en binario los signos son: 0,1; un ejemplo en orden es: 100,101, 110, 111; en hexadecimal, los códigos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F; un ejemplo en orden es: 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, ..........2F, 30, 31,32.........,FF, 100.

DIALOGO ENTRE LLANTOS

Blanca es una joven y agave mujer barinesa-tachirense, con algunos años, muy pocos, más que los míos; que extraño, no sé por qué, siempre es así, se ofenderá si les digo la edad que le acompaña, aunque esa es su belleza; sin embargo, con algunas vueltas de galimatías y dar una vaga idea: yo, quien escribe tenía diez cuando murió Julio Jaramillo “El Ruiseñor de América”. Ella es casada con un tensado en faenas de Vacas, cochinos, siembras, ríos crecidos y sabanas anegadas; de esos hombres que, machete en mano, resuelve cualquier dificultad que la vida ofrezca, ¡y sale airoso!; este caballero, de nombre Waldo, es de los que con su presencia hace sentir seguridad, en particular cuando se viaja por carreteras: de lluvia, árboles caídos y sorpresivos movimientos de tierra; no se detendrá en colaborar y resolver cualquiera sea la novedosa aventura que surja. Él tiene, no es bueno comparar, un cuñado que cuando, por ejemplo, se daña un caucho, en vez de ayudar, inclina el mueble y se queda dormido. Se llama Rafael. 

Blanca actúa al mismo nivel de su esposo, a tal palo le acompaña tal estilla; hacha en mano, nada la amedranta, ambos han sido fundadores y refundadores de fincas; tantos momentos degustaron, en mutua compañía, de paseos por las nubes, corte de árboles, construcción de caminos y bebidas afrodisiacas y espirituosas, no permite que la distancia lo separare; ni siquiera ahora, con su esposo infartado. Dejó, en acto votivo, su gélido paraíso montañoso en el pie de monte merideño-barines, llora por eso, ¡no querrán oírla!, para acompañar a su esposo a una casa rural, en la caliente población de Monay, Trujillo. No protesta, sólo llora, como si, sin leerlo, hiciera alusión a Eugenio Montejo, que en profundad reflexiva nos regaló: “Dura menos un hombre que una vela pero la tierra prefiere su lumbre para seguir el paso de los astros”, así, con esa dignidad, es ella para sí y para su esposo. 

A Blanca le gusta cantar las rancheras que dibujan memorias de pesca con anzuelos, bongos y familia. Relata en los encuentros sus historias de vida, cual material etnográfico, digno para la pluma creadora de “Llano en Llamas y Pedro Paramo” Juan Rulfo, el escritor del conversatorio de los muertos, en realismo mágico. Blanca es viviente y fantasma en unitemporalidad; cuando llora, lo hace el fantasma que acompaña a su padre, habitante de las escarchas de mármol y cuando ríe lo hace la viviente que acompañó a su madre “divorciada” de su padre, quien a la puerta de su vivienda mortuoria, escribió el epitafio: “aunque te ame y mis hijos te adoren, me separo de ti para tener derecho a recibir el pan y el vino”, relata y vuelve a relatar hasta el cansancio, con las mismas palabras, que garantizan que así mismo ocurrió. Son sus historias, las vividas en su truncada adolescencia madurada por los agrestes caminos de la vida. 

Hace poco, se puede decir, hace unos minutos, pues es su añoranza, en compañía de su hermano Rafael, estimulados con líquidos de uso legal: esos que se compran en todas partes; los oí llorar, y entre llantos y palabras de aliento compartidas e interrumpidas por un mismo compas, separados sólo por silencios de corcheas. Blanca recuerda a su padre. Cuando ella silencia, lloraba Rafael alegando que lo hace por que su hermana le trae tristezas pasadas. Remembran en húmedos recuerdos las antiguas misiones, cuando hombres de túnicas negras, declaraban a sonora voz que las casas de aquellos que no habían cumplido el últimos sacramento, eran antros de herejías, entradas al hades y culpables en eternidad tenebrosa de que las Perséfones siguieran siendo raptadas por el rey de la oscuridad y, con su actitud, contribuían a incrementar el peligro de las futuras primaveras y la salvación de sus hijos, aún niños. 

El llanto de los hermanos, tomaba forma de odio y melancolía, protestando a los reyes del poder del espíritu que hicieron que sus progenitores tomaran la decisión de separarse para evitar estar en pecado mortal; El padre se fue de casa, convencido que salvaría con ello a la familia del castigo eterno. Y desde ahí, la penuria, comienza la búsqueda de los hijos, inicia el retorno imaginario que perdura aún después del viaje hacia la convivencia con los fantasmas. 
Nunca, nunca más ― decían. Ya no se entendía sus libados susurros― 
―La familia no volvió a estar junta en fraterno abrazo de trabajo y divinidad.
Repetian y volvían a decirlo. 
— Es verdad, es verdad ― comentaban mecánicamente. 
Siempre escuchamos los cuentos Blanca y el bongo, aquellos donde, al compás de un cuatro llanero prestado a otros géneros, adornaba con sus rancheras las aguas del Caparo y el Cantón. 
Sentados todos a su alrededor: nietos y sobrinos, sobre todo los que llegaron vía adoptiva por sus nietas casaderas, la animamos para que diera inicio a la narración de sus fábulas que cuentan como el campesino descansaba retorno a casa montados en transportes de tabla, parando acá, parando allá, para comprar el menú de la alucinación que al llegar a casa los comunicará con Morfeo y estar con él hasta el primeros cantos de los gallos e iniciar la faena de nuevo. 

Edgar B. Sánchez B.

Suma en N (números naturales) 

Para realizar sumas con Números Naturales (N) se sigue un algoritmo memorizado sin que se entienda su esencia y enseñado mecánicamente. Si está en su deseo detenerse un poco, sugiero estar atento en que la clave fundamental es: “suma de términos semejantes”.

En un ejemplo como: 3b+4b; 3b es distinto a 4b, por cuanto en una hay 3 de las b; en la otra 4. Sin embargo son semejantes, 3 y 4 numeran las mismas cosas, en este caso b, por lo que se agrupan para representarlos por 7b, usando la estrategia denominada “propiedad distributiva” de los números naturales, es decir, 3xb+4xb=(3+4)xb=7xb (x simboliza la operación producto). En la notación 3b: 3 como numerador, cuenta la cantidad de b que hay, y b es el denominador ya que representa (denomina) lo contado, (pudiera ser b≡bultos; tres bultos=3b). Este principio es el que se utiliza en el algoritmo de la suma de números naturales. Incluso en la suma de fracciones: ¾ entendida como 3x(1/4), hay tres objetos, denotados por 1/4, llamados un cuarto, cuatro da el nombre (denomina) lo contado, de ahí que nos referimos al cuatro de ¾ como denominador y al tres como numerador. 

En la operación 3/7+5/7=3x(1/7)+5x(1/7)= (3+5)x(1/7)=8x(1/7)=8/7 (suma de séptimas de la unidad) 

Retomemos al propósito original, los números naturales. Si se desea saber cual es el representante simplificado de 30+40, entiéndase a 3 y 4 como contadores de cuantos dieces (10) hay, en el primero hay 3, 30=3x10; en la segunda 4. Así que 30+40=3x10+4x10=(3+4)x10=7x10=70. 

De igual forma, hay que tomar en cuenta que el valor del número 3 en 30, es distinto al que tiene en 300 o en 3000000 y distinto a si estuviera sólo, 3. En 30, 3 equivale a 3 decenas (tres veces 10), en 300, 3 equivale a 3 centenas (tres veces 100) y si está solo a tres unidades. Por lo que 3 en 30 no puede ser sumado con 3 en 303 y tampoco con 3, cuando está sólo. Esta ha dodo origen a al valor posicional de un número natural, que da cabida a forma polinómica única para cada numero; 
Ejemplo: 37429= 3x10000+7x1000+4x100+2x10+9 (se entiende mejor si se escribe lo unidad seguida de cero como potencias).
Tomando estas consideraciones; 34+65=(30+4)+(60+5)= (3.10+4)+(6.10+5), el 3 en 34 numera lo mismo que el 6 en 65, ambos son decenas, por lo tanto semejantes, de igual forma el 4 y el 5 numeran unidades y por tanto semejantes, así que al agrupar los semejantes se obtiene 34+65=(30+4)+(60+5)= (3.10+4)+(6.10+5)= (3+6).10+(4+5)=9.10+9=90+9=99.

Para el caso de que la suma de los numeradores supere a diez, como en 9x10+7x10=16x10= (10+6)x10=10x10+6x10 (propiedad distributiva) que es igual a 100+(6x10), una centena y seis desenas, que serán agrupadas con sus semejantes. Ejemplo: 946+789= (9x100+4x10+6)+(7x100+8x10+9), al agrupar semejantes se tiene (9+4)x100+(4+8)10+(6+9), que es lo mismo que (13x100)+(12x10)+(15) (el exceso de paréntesis tiente fines didácticos), en este caso y en los similares se descompone en cada numerador; 15=10+5, por lo que se agrega un desena al contador de las desenas y el 5 es el único en el lugar de las unidades, es decir hay (12+1)x10=13x10=(10+3)x10; una centena más tres decenas, se le agrega uno a trece y se tendremos 14 centenas. Conclusión 14x100+3x10+5=1435.